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Définition
\(\triangleright\) Définition de la différentielle
Soit \(f:\Bbb R^n\to \Bbb R\) et \(x_0\in \Bbb R\)
\(f\) est différentiable en \(x_0\) s'il existe une application linéaire \(l:\Bbb R^n\to\Bbb R\) tel que:
$${{\lim_{||h||\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-l(h)}{||h||}=0}}$$
Caractéristiques
\(\triangleright\) Théorème reliant différentielle et dérivées
Soit \(f:\Omega \subset \Bbb R^m\to\Bbb R\)
Si \(f\) est différentiable en \(M_0\in\Omega\), alors ils existent en \(M_0\) toutes les dérivées directionnelles de \(f\).
En particulier ils existent toutes les dérivées partielles de \(f\) en \(M_0\).
Liens avec d'autres notions
\(\triangleright\) Lien entre gradient et différentielle
On appelle différentielle de \(f\) au point \(M_0\in \Omega\subset \Bbb R^m\) et on note \(df_{M_0}\), l'application qui au vecteur \(\overrightarrow{\Delta M}\) associe la partie linéaire du D.L. De \(f\) à l'ordre \(1\) en \(M_0\):
$$\begin{align}df_{M_0}: \Bbb R^m&\to\Bbb R\\ df_{M_0} (\overrightarrow{\Delta M})=&{{\overrightarrow{\mathcal{grad} (f)_{M_0} }.\overrightarrow{\Delta M} }}\end{align}$$
La fonction se dit alors différentiable en \(M_0\)
\(\triangleright\) Lien entre les dérivées partielles et la différentielle
On peut déterminer les dérivées partielles avec la différentielle \(df_{M_0}(\vec V)\):
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)={{df_{(x_0,y_0)}(1,0)}}$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)={{df_{(x_0,y_0)}(0,1)}}$$
\(\triangleright\) Lien entre la dérivée directionnelle et la différentielle
On peut déterminer la dérivée directionnelle grâce à la différentielle
$$D_{(h,k)}f(x_0,y_0)={{h\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+k\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}}$$
\(\triangleright\) Lien entre le gradient et la différentielle
Si \(f\) est différentiable:
$$D_v(x_0,y_0)=df(x_0,y_0)={{\langle{\vec{grad(f)}|\vec v}\rangle }}$$
Avec:
Matrice
\(\triangleright\) Matrice de la différentielle
La matrice de la différentielle d'une fonction de \(F:\Bbb R^n\to\Bbb R^p\) est la Matrice Jacobienne de cette dernière.
Autrement dit, si \(F\) est différentiable:
$$dF(x)(h,k)={{J_F(x).\binom hk}}$$
